Ce matin, on a pas eu trop le temps de s'intéresser à la dernière question de l'exercice 2 Obligatoire:
Il s'agit de : " Tout point de (AB) a -t-il un antécédent par f: z--> z' = (1/2) (z + 1/z) ? "
Solution:
* les points M' de (AB) ont pour affixe z' = x' car leur partie imaginaire est nulle
* donc on doit résoudre l'équation dans C: z' = x' = (1/2) (z + 1/z)
soit en fait z² -2zx' +1 = 0 avec z différent de 0.
* on calcule delta = 4(x'² - 1)
* si M' est en dehors du segment [AB], on a x'² - 1 > 0 donc delta > 0 et on a 2 antécédents possibles réels, donc sur (AB): z'1 = x' - racine( x'²-1) et z'2=x'+racine(x'²-1)
* si M' = A ou B, on a x'²=1 donc delta = 0 et on obtient z = x'
c'est normal car A et B sont les 2 points invariants
* si M' appartient au segment [AB], on a x'² - 1 <0>Les solutions ont donc une composante imaginaire.
(normal, on a vu qu'elles étaient sur le cercle Gamma)
Conclusion: oui, tous les points de (AB) ont au moins un antécédent (même O dont l'antécédent est E).
Contrairement à ce que disent certains corrigés... (voir les liens à gauche)
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